函数到底是什么?
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    函数到底是什么?

    《不同階段談函數》

      中學時期函數通常是數字,用式子表達,例如自由落體v(t)=12gt2v(t)=\frac{1}{2}gt^2,例如正弦函數sinθ=\sin\theta=\frac{對邊}{斜邊},例如計程車收費(與里程)p(x)={axx0a+b(xx0)xx0p(x)=\begin{cases} a&x\leq x_0\\ a+b(x-x_0)&x\geq x-0\end{cases}。物理與應用科學就更多函數了。

      大一微積分讓我們能計算 sin 或是 log 的值,物理方面也出現更多其他的函數。那時函數表達成f(x)=k=0akxkf(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k的型式,並且進行微分、積分運算,用它來求一些定律 (以微分方程表達、例如簡諧運動) 的解。

      2.

      牛頓在計算1+x\sqrt{1+x}的方法是直開平方法

      properties1+12x18x2+116x3+_11+x1_1_2+12xx+012x_x+14x2_2+x18x214x2+0+018x2_14x218x3+164x4_2+x14x2+116x318x3164x4+0+0\qquad\qquad\begin{align} & & &\underline{\,\,1\quad\,\,\,\,+\frac{1}{2}x\quad\,\,\,-\frac{1}{8}x^2\quad\,\,\,+\frac{1}{16}x^3\quad+\cdots}\notag\\ &1 &\sqrt{ }\,\,\, &\,\,1+x\notag\\ &\underline{1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} & &\underline{\,\,1\,\,\,\,\qquad}\notag\\ &2+\frac{1}{2}x & & \qquad x+0\notag\\ &\underline{\quad\,\,\,\,\frac{1}{2}x} & &\qquad \underline{x+\frac{1}{4}x^2\qquad\qquad} \notag\\ &2\,\,\,\,\,+x-\frac{1}{8}x^2 & &\qquad\,\,\,\, -\frac{1}{4}x^2+0\quad\,\,+0\notag\\ & \qquad\underline{\,\,\quad-\frac{1}{8}x^2}& &\qquad\quad\underline{ -\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{8}x^3+\frac{1}{64}x^4}\notag\\ &2+\,\,\,\,x-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{16}x^3 & & \qquad\quad\qquad\qquad\frac{1}{8}x^3-\frac{1}{64}x^4+0+0\notag\\ &\qquad\qquad\vdots & &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\vdots \end{align}

      也因此把1properties+x\sqrt{1+x}表示成1+12x18x2+116x3+1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3+\cdots,當|x||x|不大時,可以直接用加減乘除表達出足夠精準的值。 另外對於方程式y3+(1+b)y(2+b3)=0y^3 + (1+b)y-(2+b^3)=0,用估計方法 (今天稱為霍那法) 也可以寫成y=1b4+b264+131b3512+509b416384+y=1-\frac{b}{4}+\frac{b^2}{64}+\frac{131b^3}{512}+\frac{509b^4}{16384}+\cdots。進而合理地把函數介定成冪級數的型式,並延用了150才出現嚴格的理論。

      3.properties

      當今處理的函數則不侷限在數字方面。比較簡單的例子例如在處理 15 拼圖問題

      的時候,函數就是那 16 個格子對應到的方塊(沒方塊也是一個取值),而把15\fbox{15}往右推的動作,則是一個作用於函數的函數。 至於有沒有辦法把左圖的狀況轉變成右圖,則是個經典的數學問題。

      這時候f(x)=x2+2x+1f(x)=x^2+2x+1的表達式就不適用了,而我們仍需要幾號位置變成幾號方塊的函數。 因此函數就需要更清晰的型式:

      f:ABxf:A\to B\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\mapsto \fbox{$\,^{\,^{\,}}\,\,\,\,\,$}

      例如中間圖就是fproperties:{1,2,,16}{1,2,,16}f: \{1,2,\cdots,16\} \to\{1,2,\cdots,16\}

      1122151616151\mapsto1\\ 2\mapsto2\\ \vdots\\ 15\mapsto 16\\ 16\mapsto 15\\

      如果必要,也可以定義把空白那格往橫的方向移動的函數,或是往直的方向移動的函數。若用 F,G表示的話,那麼 F,G:{ f | f是定義在{1,2,...,16}上的雙射} → { f | f是定義在{1,2,...,16}上的雙射} ,並且

      4.

      另外,有些人工智慧的問題也是在尋找函數,例如要做到:

      則是要找到從 jpg 檔 (矩陣所成的集合) 對應到 {貓,狗} 的函數。

      數學依照需求存在,如果只看課本的定義,很容易迷失在型式的世界裡,而無法知道事情全貌的。至於新定義的函數有沒有含蓋舊定義的函數呢? 舊定義的函數例如f(x)=j=1(x)jjf(x)=\sum_{j=1}^\infty \frac{(-x)^j}{j},用算式來定義。新定義的函數則是把舊的沒說的部份都講清楚:

      propertiesf:(1,1]R\qquad\qquad f: (-1,1] \to \mathbb R

      xj=1(x)jj\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\mapsto \sum_{j=1}^\infty \frac{(-x)^j}{j}

      包含定義域、對應域、對應方式。 如果要給函數一個具體的形象

      那就是吃一些東西吐一些東西的機器。

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